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50874.Re: 大学の積分公式の覚え方  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月31日(金) 22時02分
丁寧に解答していただきありがとうございました。
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50873.逆 双曲/三角 関数積分公式  
名前:カッティ    日付:2017年03月31日(金) 21時35分
Size: 27KB

arctan,arctanh⇒1/aがくっつく。
arcsin,arcsinh,arccos,arccosh⇒1/aがくっつかない。
という覚え方で、うまく覚えれられると思います。
(馬鹿猫/回答者)
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50872.Re: 大学の積分公式の覚え方  
名前:WIZ    日付:2017年03月31日(金) 17時33分
べき乗演算子^は四則演算子よりも優先度が高いものとします。

置換積分ですが、その置換はすぐに思い付けるかというとそうでもない様なものです。

(1)∫{1/(a^2+x^2)}dx = (1/a)arctan(x/a) (a ≠ 0)

先ず「∫{1/(1+x^2)}dx = arctan(x)」は基本として暗記するべきでしょう。

どうしても導きたいのならx = tan(u)と置換すると、
dx/du = 1/(cos(u)^2) = (cos(u)^2+sin(u)^2)/(cos(u)^2) = 1+tan(u^2) = 1+x^2
より、
∫{1/(1+x^2)}dx = ∫{1/(1+x^2)}(1+x^2)du = ∫du = u = arctan(x)
です。

そして、t = x/aと置換すれば、
∫{1/(a^2+x^2)}dx = ∫{(1/a^2)/(1+(x/a)^2)}(a*dt) = (1/a)∫{1/(1+t^2)}dt = (1/a)arctan(t) = (1/a)arctan(x/a)
となります。


(2)∫{1/√(a^2-x^2)}dx = arcsin(x/a) (-a < x < a, a > 0)

x = atと置換すれば、a^2-x^2 = (a^2)(1-t^2)です。
更に-a < x = at < aより、-1 < t < 1なので、t = sin(u)と置換すれば、
(a^2)(1-t^2) = (a^2)(1-sin(u)^2) = (a^2)(cos(u)^2)

a > 0かつ、条件には書かれていませんがcos(u) > 0と仮定すれば、
# 主値として-π/2 < arcsin(u) < π/2, -π/2 < arccos(u) < π/2としているものと考えられます。
√(a^2-x^2) = √{(a^2)(cos(u)^2)} = a*cos(u)

よって、
∫{1/√(a^2-x^2)}dx = ∫{1/(a*cos(u)}(a*cos(u)*du) = ∫du = u = arcsin(x/a)
となります。


(3)∫{1/√(x^2+a)}dx = log|x+√(x^2+a)| (a ≠ 0, x^2+a > 0)

前2問より更に難易度が高いです。
一般にp, q, rを定数、p > 0として、∫{1/√(p*(x^2)+qx+r)}dxはt = (√p)x+√(p*(x^2)+qx+r)と置換すると
上手くいくことがあるのが知られていますので、覚えておくと良いでしょう。

今回は、p = 1, q = 0, r = aなので、t = x+√(x^2+a)と置換してみます。
t-x = √(x^2+a)
⇒ (t-x)^2 = t^2-2tx+x^2 = x^2+a
⇒ t^2-2tx = a
⇒ (t^2-a)/(2t) = x
# t ≠ 0と仮定しています。

すると、
1/√(x^2+a) = 1/(t-x) = 1/(t-(t^2-a)/(2t)) = 2t/(t^2+a)
となります。

また、
dx/dt = {(2t)(2t)-(t^2-a)(2)}/(4t^2) = {4t^2-2t^2+2a}/(4t^2) = (t^2+a)/(2t^2)
ですから、
∫{1/√(x^2+a)}dx = ∫{2t/(t^2+a)}((t^2+a)/(2t^2))dt = ∫{1/t}dt = log|t| = log|x+√(x^2+a)|
となります。


(4)∫{√(x^2+a)}dx = (1/2){x√(x^2+a)+a*log|x+√(x^2+a)|} (x^2+a > 0)

これは、(3)を解いた後では易しいかも。

t = x+√(x^2+a)と置換すれば、
√(x^2+a) = t-x = t-(t^2-a)/(2t) = (t^2+a)/(2t)
dx = {(t^2+a)/(2t^2)}dt
なので、
∫{√(x^2+a)}dx = ∫{(t^2+a)/(2t)}{(t^2+a)/(2t^2)}dt = ∫{((t^2+a)^2)/(4t^3)}dt
= ∫{(t^4+2a(t^2)+a^2)/(4t^3)}dt
= ∫{(t/4)+(a/2)(1/t)+((a^2)/4)/(t^3)}dt
= ((t^2)/8)+(a/2)log|t}+((a^2)/4)(1/(-2))(1/(t^2))
= (t^2)/8+(a/2)log|t|-((a^2)/8)(1/(t^2))

ここで、
t^2 = x^2+2x(√(x^2+a))+(x^2+a) = (2(x^2)+a)+2x(√(x^2+a))

1/(t^2) = 1/{(2(x^2)+a)+2x(√(x^2+a))}
= {(2(x^2)+a)-2x(√(x^2+a))}/({(2(x^2)+a)+2x(√(x^2+a))}{(2(x^2)+a)-2x(√(x^2+a))})
= {(2(x^2)+a)-2x(√(x^2+a))}/{(2(x^2)+a)^2-((2x)^2)(x^2+a)}
= {(2(x^2)+a)-2x(√(x^2+a))}/{(4(x^4)+4a(x^2)+(a^2))-(4(x^4)+4a(x^2))}
= {(2(x^2)+a)-2x(√(x^2+a))}/(a^2)
なので、

(t^2)/8+(a/2)log|t}-((a^2)/8)(1/(t^2))
= (1/8){(2(x^2)+a)+2x(√(x^2+a))}-((a^2)/8){{(2(x^2)+a)-2x(√(x^2+a))}/(a^2)}+(a/2)log|t|
= (1/8){(2(x^2)+a)+2x(√(x^2+a))}-(1/8){(2(x^2)+a)-2x(√(x^2+a))}+(a/2)log|t|
= (1/8){4x(√(x^2+a))}+(a/2)log|t|
= (1/2){x(√(x^2+a))}+(a/2)log|t|
= (1/2){x(√(x^2+a))+a*log|x+√(x^2+a)|}

スレ主さんにてよく検算してみてください!

・・・と言うことで、試験中に導こうとしたら大幅に時間をロスすること間違いなしてす。
必要なら、最終結果だけ暗記するのが無難かも。
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50871.大学の積分公式の覚え方  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月31日(金) 14時53分
Original Size: 2160 x 1359, 108KB

画像の積分公式についてなのですが、
右辺を微分すれば公式が成り立つのは分かるのですが、
この公式を暗記できずに困っています。
そもそも暗記せずにこうすれば(置換積分、部分積分などで)導出できるのであればそれをご教授願えないでしょうか。
参考書には微分して成り立つことしか書いてませんでした。
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