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50866.Re: 行列式、逆行列  
名前:雨曝し    日付:2017年03月29日(水) 23時31分
ぽんすれ氏さん

まさか、別解までいただけるとは思っていませんでした。
少しばかり悩みましたが、紙に書いてみたらなんとか理解できました。
視野まで広げてもらい、ありがとうございます。
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50865.Re: 行列式、逆行列  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月29日(水) 20時00分
次の様に考えてもよいです.


[別解]
問題で与えられている行列の行列式をD_[n]とおく.各nに対して,行列の第一列に関する余因子展開を行うと,

D_[n+1]=1・D_[n]-p・pD_[n]=(1-p^2)D_[n].

よって,数列{D_[n]}は初項がD_[1]=1で公比が1-p^2の等比数列であるから,D_[n]=(1-p^2)^{n-1}である.
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50864.Re: 行列式、逆行列  
名前:雨曝し    日付:2017年03月29日(水) 12時49分
WIZさん

大変ありがとうございます。ここ数週間悩んでいたので、本当に感謝です。

数学的帰納法を使い、自分の手で計算してみたいと思います。
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50863.Re: 行列式、逆行列  
名前:WIZ    日付:2017年03月29日(水) 12時05分
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

nを2以上の自然数して、行列式の値をd(n)と書くことにします。

d(2) = |{(1, p), (p, 1)}| = 1-p^2

d(3) = |{(1, p, p^2), (p, 1, p), (p^2, p, 1)}| = (1+2p^4)-(2p^2+p^4) = 1-2p^2+p^4 = (1-p^2)^2

d(4) = |{(1, p, p^2, p^3), (p, 1, p, p^2), (p^2, p, 1, p), (p^3, p^2, p, 1)}|
1行目から2行目のp倍を引くと、
d(4) = |{(1-p^2, p-p, p^2-p^2, p^3-p^3), (p, 1, p, p^2), (p^2, p, 1, p), (p^3, p^2, p, 1)}|
= |{(1-p^2, 0, 0, 0), (p, 1, p, p^2), (p^2, p, 1, p), (p^3, p^2, p, 1)}|
= (1-p^2)|{(1, p, p^2), (p, 1, p), (p^2, p, 1)}|
= (1-p^2)d(3)
= (1-p^2)^3

・・・などから、d(n) = (1-p^2)^(n-1)と予想できます。

d(n) = |{(1, p, p^2, p^3, ・・・, p^(n-1)), (p, 1, p, p^2, p^3, ・・・, p^(n-2)), (p^2, p, 1, p, p^2, ・・・, p^(n-3)), ・・・, (p^(n-1), p^(n-2), ・・・, p, 1,)}|
1行目から2行目のp倍を引くと、
d(n) = |{(1-p^2, p-p, p^2-p^2, p^3-p^3, ・・・, p^(n-1)-p^(n-1)), (p, 1, p, p^2, p^3, ・・・, p^(n-2)), (p^2, p, 1, p, p^2, ・・・, p^(n-3)), ・・・, (p^(n-1), p^(n-2), ・・・, p, 1,)}|
= |{(1-p^2, 0, 0, 0, ・・・, 0), (p, 1, p, p^2, p^3, ・・・, p^(n-2)), (p^2, p, 1, p, p^2, ・・・, p^(n-3)), ・・・, (p^(n-1), p^(n-2), ・・・, p, 1,)}|
= (1-p^2)d(n-1)
となり、数学的帰納法で証明できそうですね。
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50862.Re: 行列式、逆行列  
名前:雨曝し    日付:2017年03月29日(水) 10時59分
すいません。ずれてしまいました。n次正方行列です。

([1,p, … ,p^(n-1)] [p, 1, …, p^(n-2) ] … [p^(n-1), p^(n-2), …, 1])

です。

わかる方いたらよろしくお願いします。
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50861.行列式、逆行列  
名前:雨曝し    日付:2017年03月28日(火) 22時33分
|1 p p^2 p^(n-1)|
|p 1 p p^(n-2)|
|p^2 p 1 |
| ... |
|p^(n-1) ... p 1 |

対角成分が1のtoeplitz型行列の行列式、逆行列の求め方がわかりません。
わかる方どうか、ご教授願います。よろしくお願いいたします。
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