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50851.Re: やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:らすかる    日付:2017年03月24日(金) 15時33分
> 18x±2, 18x±4, 18x±5の形の整数が4個以下の正負の3乗数の和に表せる
> 恒等式が存在するのかしないのか分かりませんが、

例のページを見ると、18x±2は解決済みのようですね。
18x±4と18x±5はまとめて9x±4と書けますが、
これは未解決のようです。
(なので、プログラムで探しても徒労に終わるでしょうね。)

i219-165-180-254.s41.a010.ap.plala.or.jp (219.165.180.254)
Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0

50850.Re: やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:らすかる    日付:2017年03月24日(金) 12時47分
(A^2)BとA(B^2)の偶奇は同じ
(C^2)DとC(D^2)の偶奇は同じ
(E^2)FとE(F^2)の偶奇は同じ
(G^2)HとG(H^2)の偶奇は同じ
よってTとUの偶奇は同じなので
T=0ならばU≡0(mod6)となりますね。

i219-165-180-254.s41.a010.ap.plala.or.jp (219.165.180.254)
Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:52.0) Gecko/20100101 Firefox/52.0

50849.Re: やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:WIZ    日付:2017年03月24日(金) 12時36分
追加で質問なのですが、ローマ字は大文字・小文字に関わらず整数を表すものとするとき、
Sx^3+Tx^2+Ux+V = (Ax+B)^3+(Cx+D)^3+(Ex+F)^3+(Gx+H)^3かつ、
S = T = 0, U ≠ 0という条件のxの恒等式になる様にA〜Hを選ぶとき、
U ≡ 0 (mod 6)となる様な気がします。

S = A^3+C^3+E^3+G^3
T = 3{(A^2)B+(C^2)D+(E^2)F+(G^2)H}
U = 3{A(B^2)+C(D^2)+E(F^2)+G(H^2)}
V = B^3+D^3+F^3+H^3
ですから、U ≡ 0 (mod 3)であることは明白ですが、Uは常に偶数になると言えるのでしょうか?

# もしかしたら、みずきさん紹介のサイトに情報があったのかもしれませんが、
# 英語は読む気がしなかったので数式しか眺めてません。悪しからず。
080040014222.ppp-oct.au-hikari.ne.jp (222.14.40.80)
Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 7.0; Windows NT 6.0; Trident/5.0; SLCC1; .NET CLR 2.0.50727; Media Center PC 5.0; MDDC; .NET CLR 3.5.30729; .NET CLR 1.1.4322; .NET CLR 3.0.30729; OfficeLiveConnector.1.5; OfficeLivePatch.1.3; .NET4.0C; .NET4.0E)

50848.Re: やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:WIZ    日付:2017年03月24日(金) 12時13分
みずきさん、関連情報ありがとうございます。

自身でも(らすかるさんに刺激されて)プログラムを作って、
Sx^3+Tx^2+Ux+V = (Ax+B)^3+(Cx+D)^3+(Ex+F)^3+(Gx+H)^3かつ、
S = T = 0, U ≠ 0という形になるものを探索してみたのですが、

A〜Hの絶対値が30以下の範囲で、U = 18のとき、
V = 0, ±1, ±3, ±6, ±7, ±8, ±9までは見つけられました。
A〜Hの絶対値を60まで広げて探索しましたが結果は変わりませんでした。

プログラムのアルゴリズムが悪く、使ってるパソコンが遅いのもあって、
A〜Hの絶対値が大きい範囲までの探索が困難で、
みずきさんの紹介されたサイトで1000以上の係数があったのは、
スパコンでも使ったのかな? 何らかの上手く探索できるアルゴリズムがあるのかな?
と興味はあります。

18x±2, 18x±4, 18x±5の形の整数が4個以下の正負の3乗数の和に表せる
恒等式が存在するのかしないのか分かりませんが、
もしどうしても4個以下の正負の3乗数の和に表せない整数があるのなら、
この形をしている訳です。ただ、奇数である18x±5については落としたい(?)ので、
もう少し探索範囲を広げてみたいと思います。

ありがとうございました。
080040014222.ppp-oct.au-hikari.ne.jp (222.14.40.80)
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50844.Re: やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:みずき    日付:2017年03月23日(木) 16時11分
蛇足かもしれませんが↓は関連情報でしょうかね。

http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html

らすかるさんが見つけられたのは(18)ですね。
KD111110173168.ppp-bb.dion.ne.jp (111.110.173.168)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

50843.Re: やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:WIZ    日付:2017年03月23日(木) 15時47分
らすかるさん、コメントありがとうございます。

条件には該当していますよ。
A = 2, B = -5, C = -2, D = 4, E = -1, F = 4, G = 1, H = 0ということですよね。

ありがとうございました。
080040014222.ppp-oct.au-hikari.ne.jp (222.14.40.80)
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50842.Re: やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:らすかる    日付:2017年03月23日(木) 12時38分
私は

> 「6x+3 = (Ax+B)^3+(Cx+D)^3+(Ex+F)^3+(Gx+H)^3」が恒等式となる整数A〜Hをご存じ、
> または関連情報をお持ちの方

という条件には該当しませんでしたが、プログラムを作って探索したところ
6x+3 = (2x-5)^3-(2x-4)^3-(x-4)^3+x^3
という解が見つかりました。

i219-165-180-254.s41.a010.ap.plala.or.jp (219.165.180.254)
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50841.やさしいウェアリングの問題 v(3)について  
名前:WIZ    日付:2017年03月23日(木) 12時23分
べき乗演算子^は四則演算子よりも優先度が高いものとします。

自然数を正負の(整数の)3乗数の和で表す場合、最大何個の3乗数が必要かという問題で、
現時点では未解決だと思います。この最大何個をv(3)と表すことにすると、
4 ≦ v(3) ≦ 5であることは知られています。

整数の3乗は9を法として、0, 1, -1のどれかに合同で、
ここから9を法として4または5に合同な自然数を正負の3乗数の和で表すには、
4個の3乗数が必要となり、4 ≦ v(3)と言えます。

また、恒等式 6x = (x+1)^3+(x-1)^3-x^3-x^3 より、6の倍数は4個以下の正負の3乗数の和で表せます。
そして、nを自然数とすれば、(n-1)n(n+1) = n^3-nは6の倍数である整数ですから、ある整数xが存在して
6x = n^3-n ⇒ n = n^3-6x = n^3-(x+1)^3-(x-1)^3+x^3+x^3となり、
任意の整数nは5個以下の正負の3乗数の和で表せます。

つまり、4 ≦ v(3) ≦ 5であることが示された訳です。

前置きが長くなりましたが、以下が質問です。

以前、ネットで「6x+3 = (Ax+B)^3+(Cx+D)^3+(Ex+F)^3+(Gx+H)^3」であり、
A〜Hは整数となる恒等式を見たことがあり、自身で検算しても正しい恒等式であることを確認しています。
しかし、その項等式を忘れてしまい、記載されたホームページも忘れてしまい見つけられません。
上記が確認できれば、3の倍数は4個以下の正負の3乗数の和で表せることになります。

「6x+3 = (Ax+B)^3+(Cx+D)^3+(Ex+F)^3+(Gx+H)^3」が恒等式となる整数A〜Hをご存じ、
または関連情報をお持ちの方は御教示ください。
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