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50839.Re: 平方非剰余の性質について  
名前:WIZ    日付:2017年03月22日(水) 22時41分
黄桃さん、失礼しました。
1は常に平方剰余ですが、私の懸念したケースは存在しませんね。
解決しました。ありがとうございました。
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50838.Re: 平方非剰余の性質について  
名前:WIZ    日付:2017年03月22日(水) 22時35分
黄桃さん、コメントありがとうございます。

実は私も、平方非剰余の中に1つでもb ≡ x^2+y^2 (mod p) (但しx, yは法pで0に合同でない整数)
と言うものが存在すれば、他の平方非剰余はbに特定の平方剰余を乗じることで得られるので、
よって全ての平方非剰余が2つの平方数の和に合同であると示せることは分かっていたのですが、
如何せん、この様な平方非剰余bの存在が上手く示せていませんでした。

p ≡ 3 (mod 4)のとき、 p-1は平方非剰余で、p-1 ≡ x^2+y^2 (mod p)となるx, yは存在するとか、
p ≡ 2 (mod 3)のとき、 p-3は平方非剰余で、p-3 ≡ x^2+y^2 (mod p)となるx, yは存在するとか、
部分的な結果は得ていましたが・・・。

黄桃さんの方法に関して、以下の様なケースはxが平方剰余で、x+1が平方非剰余とは言えなくなります。

法pで、1, 2, ・・・, (p-1)/2が平方非剰余で、(p-1)/2+1, (p-1)/2+2, ・・・, p-1が平方剰余である場合、
「+1 という操作により、すべての平方剰余が平方剰余に移ることはない」とは言えますが、
「適当な平方剰余xに対し、x+1 は平方非剰余になります」とは言えないケースです。

このようなケースの打開策、またはこのようなケースとなる素数pは存在しないことが言えれば良いのですが。
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50836.Re: 平方非剰余の性質について  
名前:黄桃    日付:2017年03月22日(水) 20時34分
もっと簡単にいえそうですが、とりあえずつぎのように証明できそうです。
+1 という操作により、すべての平方剰余が平方剰余に移ることはないので、
適当な平方剰余xに対し、x+1 は平方非剰余になります。
法pの原始根をrとすれば、x+1=r^(2k+1)と書けますから、これに r^2, r^4, r^6,..
を順に乗じていけばすべての平方非剰余が表せます。
この時、x,1は平方剰余ですから、x*r^(2l), r^(2l)はいずれも平方剰余で、これらの和ですべての平方非剰余が表せますので証明終わりです。
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50831.平方非剰余の性質について  
名前:WIZ    日付:2017年03月22日(水) 16時13分
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

pを自然数の素数で、2以外のものとします。
法pの0でない剰余類は半数の平方剰余と、残り半数の平方非剰余で構成されます。
aを法pの平方剰余とすると、法pで0に合同でない整数xが存在して、a ≡ x^2 (mod p)と表せます。

ここで、以下を予想していますが、証明可能でしょうか?
「bを法pの平方非剰余とすると、法pで0に合同でない整数x, yが存在して、 b ≡ x^2+y^2と表せる。」
bは平方非剰余ですから、(1つの)平方数に合同になることはあり得ませんが、
常に2つの平方数の和には合同になるような気がします。

証明でなくても関連情報を御存じでしたら、御教示ください。
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