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50825.Re: arctanxに関する問題  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月21日(火) 21時39分
なるほど。分かりました。

一つ一つ丁寧に段階を追って教えていただき、

また、分かるまで付き合っていただきありがとうございました。

これからも数学を頑張っていこうと思います。
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50824.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月21日(火) 21時24分
>「tan^{-1}(x)+tan^{-1}(1/x)は0<xでπ/2、x<0で-π/2と別々の関数(定数)で表されるため、場合分けせず0を除く実数範囲で0<xとx<0で同時に題意を示すより、素直に場合分けした方が解答しやすい。」
>より簡単に言えば、「問題文で場合分けされてるから場合分けした。」
>こういうことなのでしょうか?


それらに関しては仰る通りです.ただ,その考えに加えて

>・x>0の時,tan^{-1}(x)>0,tan^{-1}(1/x)>0であるからtan^{-1}(x)+tan^{-1}(1/x)の値は正である
>・x<0の時,tan^{-1}(x)<0,tan^{-1}(1/x)<0であるからtan^{-1}(x)+tan^{-1}(1/x)の値は負である

であることを把握してx>0とx<0の2つに場合分けすべきであるという考えもあると(問題を解く上でも)なおよいです.
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50823.Re: arctanxに関する問題  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月21日(火) 20時26分
最初の疑問についての答えは要するにこういうことでしょうか?

「tan^{-1}(x)+tan^{-1}(1/x)は0<xでπ/2、x<0で-π/2と別々の関数(定数)で表されるため、場合分けせず0を除く実数範囲で0<xとx<0で同時に題意を示すより、素直に場合分けした方が解答しやすい。」

より簡単に言えば、「問題文で場合分けされてるから場合分けした。」

こういうことなのでしょうか?
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50822.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月21日(火) 19時57分
>|x|はx>=0とx<0において異なる関数で定義されるからでしょうか?


その通りです.そして,それゆえに例題を解く際にはx>0またはx≦0(或いは,x≧0またはx<0)の2つの場合に分ける必要があります.一方,本問では

・x>0の時,tan^{-1}(x)>0,tan^{-1}(1/x)>0であるからtan^{-1}(x)+tan^{-1}(1/x)の値は正である
・x<0の時,tan^{-1}(x)<0,tan^{-1}(1/x)<0であるからtan^{-1}(x)+tan^{-1}(1/x)の値は負である

であるため,x>0またはx<0の2つに場合分けする必要があるのです.例題と本問で共通することは「それぞれの場合で何が違うのかに着目して場合分けされる」ということです.
____________________________________________________________________________________

※本問を解答する際にはx<0の場合ではx>0の場合と同様に議論してもよいのですが,解答例では「関数y=tan^{-1}(x)(-π/2<x<π/2)が奇関数であること」及びx>0での場合の結果を利用することでの要領の良い解答が与えられています.
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50821.Re: arctanxに関する問題  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月21日(火) 18時09分
|x|はx>=0とx<0において異なる関数で定義されるからでしょうか?
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50820.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月21日(火) 18時01分
>|x|の定義が
>|x| = { x (x >= 0)
>-x (x < 0)
>だからでしょうか?

「関数y=|x|の定義によるから」と言えば確かにそうなのですが,もう少し具体的に言うとどういう回答になるでしょうか?


※この問いに上手く答えられると,それが元々の疑問を解決する手助けとなります.
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50819.Re: arctanxに関する問題  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月21日(火) 17時36分
>それゆえに,逆正接関数の定義域に注意して議論を行う必要があるのです.

良く分かりました。

>[問題]
>実数全体で定義された関数y=|x|のグラフを描け.

>を考える際には,x≧0の時とx<0の時(或いは,x>0の時とx≦0の時)の2つに場合分けして考えますよね.そうする必要があるのは何故だか分かりますか?

|x|の定義が
|x| = { x (x >= 0)
-x (x < 0)
だからでしょうか?
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50818.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月21日(火) 13時11分
>※の範囲でそもそも逆正接関数tan^{-1}(x)が定義できないということがわかりました!

x<0の場合での議論が正しく出来ていたため,その様な新たな疑問が生じてしまったのです.正しい考え方については一つ前の私の回答をご参考ください.


>そもそもtanの逆関数は-π/2<角度<π/2で定義されているのに、ここで出てくる角度は、
>グラフ上ではtanxの逆関数の定義されていない、もう一つ隣のグラフだからですか!?

初めに逆正接関数の定義域は-π/2<x<π/2と定めています.そのため,解答の途中で定義域を変更して問題を考えてしまうと等式の値の結果が変わる可能性があります.それゆえに,逆正接関数の定義域に注意して議論を行う必要があるのです.例えるなら,逆正接関数の定義域を途中で変更するということは「友人と2人でキャッチボールをしている時に,その途中で友人の方とは全く違う方向へボールを平然と投げる」様なものです.
_______________________________________________________________________________

※ところで,50813の回答で与えられた問いに対して答えることは出来ますか.ただし,その際に「何となく分かりました」,「直感的には理解できました」などという根拠や論点の含まれていない曖昧な回答をするのはお止め下さい.

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50817.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月21日(火) 12時59分
>1/x = 1/tanα = tan(π/2-α)
>1/x = tan(π/2-α) (π/2 < π/2-α < π…※)



次の様に考えるとよいです.


[考え方]
-π/2<α<0より-π/2<-π/2-α<0であり,

tan(-α-π/2))
=sin(-α-π/2)/cos(-α-π/2)
=-cosα/(-sinα)
=1/tanα
=1/x.
∴tan^{-1}(1/x)=-α-π/2.
∴tan^{-1}(x)+tan^{-1}(1/x)=α+(-α-π/2)=-π/2.
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50815.Re: arctanxに関する問題  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月20日(月) 23時48分
分かったかもしれません。

>では,一先ず画像にあるx<0の場合の解き方を忘れることにし,x>0での場合の解き方を真似てx<0の場合を考えてみてください.

x<0のとき、tan^{-1}(x)=α   (-π/2 < α < 0)
とおくと、x=tanα

1/x = 1/tanα = tan(π/2-α)

1/x = tan(π/2-α) (π/2 < π/2-α < π…※)

※の範囲でそもそも逆正接関数tan^{-1}(x)が定義できないということがわかりました!

そもそもtanの逆関数は-π/2<角度<π/2で定義されているのに、ここで出てくる角度は、

グラフ上ではtanxの逆関数の定義されていない、もう一つ隣のグラフだからですか!?

一応納得はしたのですが、この理解であっているでしょうか?
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50813.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月20日(月) 20時04分
例えば,次の問題

[問題]
実数全体で定義された関数y=|x|のグラフを描け.

を考える際には,x≧0の時とx<0の時(或いは,x>0の時とx≦0の時)の2つに場合分けして考えますよね.そうする必要があるのは何故だか分かりますか?
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50812.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月20日(月) 20時01分
>直感的には分かるのですが、画像の「解答&解説」で、この場合分けがどのように役立つ(使われている)のか。

繰り返し言うこととなりますが,x>0の時とx<0の時の2つの場合に分けて問題を考える必要があるのは「関数y=tan^{-1}(x)が奇関数であるために,与えられた式の値の符号がx>0の場合とそうではない時では変わるから」なのです.これが理解できていないとなると,厳しいことを言いますが,直感的にではなく「分かったつもりでいる」ということになります.


>解答&解説のどの部分でこの場合分けがないとだめなのかがわかりません。
>解答&解説のこの部分でこの条件がないとこうだよね、というのを教えて頂けないでしょうか。

では,一先ず画像にあるx<0の場合の解き方を忘れることにし,x>0での場合の解き方を真似てx<0の場合を考えてみてください.
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50810.Re: arctanxに関する問題  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月20日(月) 16時13分
直感的には分かるのですが、画像の「解答&解説」で、この場合分けがどのように役立つ(使われている)のか。

解答&解説のどの部分でこの場合分けがないとだめなのかがわかりません。

解答&解説のこの部分でこの条件がないとこうだよね、というのを教えて頂けないでしょうか。
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50805.Re: arctanxに関する問題  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月19日(日) 17時21分
>なぜこの場合分けが必要なのでしょうか?

関数y=tan^{-1}(x)が奇関数であるために,与えられた式の値の符号がx>0の場合とそうではない時では変わるからです.
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50804.arctanxに関する問題  
名前:hiyokko2    日付:2017年03月19日(日) 16時02分
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添付画像の問題なのですが、解答で0<x、x<0で場合分けしているのですが、
なぜこの場合分けが必要なのでしょうか?
基本的なことかもしれませんがよろしくお願いします。
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