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50797.Re: ガンマ関数とベータ関数の関係  
名前:ぶるーつりー    日付:2017年03月17日(金) 09時48分
凄くしっくりきました。こちらの解法で理解しようと思います。
今回もとても助かりました。
これからも精進していきます。ありがとうございました。
(大学 3 年/質問者)
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50796.Re: ガンマ関数とベータ関数の関係  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月16日(木) 23時15分
では,次の様に考えてみては如何でしょうか.


[考え方]
正の整数m,nに対して,

D_[m,n]=([1/m,n]×[0,1/m])∪([0,1/m]×[1/m,n])∪([1/m,n]×[1/m,n])

とおく.まず,mを固定して考える.すると,面積確定な有界閉領域の列{D_[m,n]}_{n≧1}は集合

D_[m]=([1/m,∞)×[0,1/m])∪([0,1/m]×[1/m,∞))∪([1/m,∞)×[1/m,∞))

の近似増加列であるから,

∬_[D_[m]]e^{-(x+y)}x^{p-1}y^{q-1}dxdy
=lim_[n→∞]∬_[D_[m,n]]e^{-(x+y)}x^{p-1}y^{q-1}dxdy
=lim_[n→∞](∫_[1/m,n]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[0,1/m]e^{-y}y^{q-1}dy
+∫_[0,1/m]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[1/m,n]e^{-y}y^{q-1}dy
+∫_[1/m,n]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[1/m,n]e^{-y}y^{q-1}dy)
=∫_[1/m,∞]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[0,1/m]e^{-y}y^{q-1}dy
+∫_[0,1/m]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[1/m,∞]e^{-y}y^{q-1}dy
+∫_[1/m,∞]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[1/m,∞]e^{-y}y^{q-1}dy.…@

後は,今得られた式の最右辺が1変数の広義積分の積

∫_[1/m,∞]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[0,1/m]e^{-y}y^{q-1}dy,
∫_[0,1/m]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[1/m,∞]e^{-y}y^{q-1}dy,
∫_[1/m,∞]e^{-x}x^{p-1}dx・∫_[1/m,∞]e^{-y}y^{q-1}dy

の和であることに注意すると,@においてm→∞とすれば,等式

∬_[D]e^{-(x+y)}x^{p-1}y^{q-1}dxdy=Γ(p)Γ(q)

を得る.
_________________________________________________________________________________________________________________________

※等式∬_[D]e^{-(x+y)}x^{p-1}y^{q-1}dxdy=Γ(p+q)B(p,q)の証明においても,正の整数m,nに対して

D'_[m,n]={(x,y)∈R^2|1/m≦x+y≦n},D'_[m]={(x,y)∈R^2|1/m≦x+y}

とおき,初めにmを固定して議論すればよいかと思います.

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50795.ガンマ関数とベータ関数の関係  
名前:ぶるーつりー    日付:2017年03月16日(木) 21時43分
Original Size: 1589 x 1508, 309KB

ガンマ関数とベータ関数の関係を導く問題です。
解答では写真中のヒントの部分にも書いてあるように、2通りの近似増加列を定義することで関係式を導いていますが、そもそも近似増加列の定義は
『領域D内の任意の閉領域D_[0]に対してD_[0]∈D_[n]となるnが存在するときD_[n]をDの近似増加列とする』であったと思います。この解答のような近似増加列の定義では原点を含む領域を含む事が出来ないと思います。
自分の考えで間違っている部分が分からないです。
よろしくお願い致します。
(大学 3 年/質問者)
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