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50794.Re: ε-δによる連続性の定義について  
名前:WIZ    日付:2017年03月16日(木) 12時33分
「(∀ε>0)(∃δ>0)・・・」という論理式は
「任意の正の実数εに対して、ある正の実数δが存在して、・・・である。」という意味です。
δの値はεの値に依存しても、しなくても良いのですが、
εの値を決めたら論理式を成立させるδの値が決まる(存在する)ことが必要です。

逆にスレ主さんの書いた論理式「(∀δ>0)(∃ε>0)」だと、
「任意の正の実数δに対して、ある正の実数εが存在して、・・・である。」という意味になるので、
δの値を決めたら論理式を成立させるεの値が決まれば(存在すれば)良いことになります。

εの値は存在さえすれば、δに依存する必要もないので、
例えば |f(x)-f(a)| = A ≧ 0として、Aが有限の値ならばε = A+1と取れば、 |f(x)-f(a)| < εが成立してしまいます。
つまり、x ∈ Iかつa ∈ Iかつf(x)とf(a)が有限な値であれば、f(x)はx = aで連続と言うことになってしまいます。
くどくなりますが、ITさんが例に出された、特定の点で近傍と滑らかにつながっていなくて、
孤立していても近傍とのf(x)の値の差が有限であれば連続ということになってしまいます。

但し、上記の誤った議論はx = aの近傍が存在することが条件なので、
近傍の存在しない孤立点では関数は連続であるという立場を現代数学では取ります。
例えば、「0 ≦ x ≦ 1でf(x) = 1, x = 2でf(x) = 2」と定義された関数f(x)はx = 2で連続です。

現在入手できるかどうか分かりませんが、現代数学社の「ε-δに泣く」(ISBN4-7687-0366-6)
という小さな本が参考になるかと思います。
080040014222.ppp-oct.au-hikari.ne.jp (222.14.40.80)
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50792.Re: ε-δによる連続性の定義について  
名前:IT    日付:2017年03月16日(木) 08時01分
「ある関数fがI上の点aで"連続"であるとは,
(∀δ>0)(∃ε>0)(∀x∈I)[|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε]」
と定義したとき

たとえば f(x)を f(x)=0 (x≦0)、f(x)=1 (x>0) で定義すると、
f(x)はx=0で"連続"になります。

g(x)=0(x=0),g(x)=1/x(x≠0) で定義したとき x=0 で"連続"になるかどうか確認してみてください。

# 具体例をグラフを描いて考えることも大切です。
p6192-ipbfp402matsue.shimane.ocn.ne.jp (180.7.93.192)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

50791.ε-δによる連続性の定義について  
名前:くるくる    日付:2017年03月16日(木) 03時47分
よろしくお願いします.

ある関数fがI上の点aで連続であるとは,
(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈I)[|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε]
と定義できますが,εとδの順番を逆に(∀δ>0)(∃ε>0)とすると論理に欠缺が生じるのでしょうか..
非常に初歩的な質問なのですが,色々な文献を調べるほど混乱して整理がついていません.
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「50791.ε-δによる連続性の定義について」への返信


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