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50793.Re: 曲面の法線  
名前:ぶるーつりー    日付:2017年03月16日(木) 10時13分
分かり易く解説して頂いてありがとうございました。
おかげでなんとか理解することが出来ました。
同じサイトを見ていたのですが助けを頂いてようやく理解できました
本当に助かりましたありがとうございました。
(大学 3 年/質問者)
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50790.Re: 曲面の法線  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月15日(水) 22時06分
γを曲面f(x,y,z)=0上の点(a,b,c)を通る任意の曲線とすると,

γ(t)=(x(t),y(t),z(y)),x(0)=a,y(0)=b,z(0)=c

の様に成分表示することが出来ます.いま,f(x(t),y(t),z(t))=0が成立しており,この式の両辺をtについて微分すると

f_[x]・dx/dt+f_[y]・dy/dt+f_[z]・dz/dt=0.
∴grad(f)・dγ/dt=0.

ここで,dγ/dtは曲線上の点γ(t)での接ベクトルを表します.よって,法線の定義より,点(a,b,c)でのベクトルgrad(f)は曲面f(x,y,z)=0上の点(a,b,c)における法線の方向ベクトルであることが分かります.


以上のことに注意して,曲面上の点(a,b,c)における接平面の方程式と法線の方程式を求めようと思います.まずは接平面の式について考えます.点(x,y,z)を点(a,b,c)とは異なる接平面上の点とします.すると,ベクトル(x-a,y-b,z-c)は接平面上にあるから,これは点(a,b,c)における法線の方向ベクトルの1つgrad(f)と直交する筈です.よって,

grad(f)・(x-a,y-b,z-c)=0.
∴f_[x](a,b,c)(x-a)+f_[y](a,b,c)(y-b)+f_[z](a,b,c)(z-c)=0.…@

今得られた式は(x,y,z)=(a,b,c)の時も成立します.したがって,点(a,b,c)における接平面の式は式@で与えられることが分かります.


次に,法線の方程式を考えます.点(x,y,z)を点(a,b,c)とは異なる法線上の点とします.すると,ベクトル(x-a,y-b,z-c)は法線の方向ベクトルの1つなので,これは点(a,b,c)でのgrad(f)=(f_[x](a,b,c),f_[y](a,b,c),f_[z](a,b,c))と平行であることが分かります.ゆえに,

(x-a,y-b,z-c)=k(f_[x](a,b,c),f_[y](a,b,c),f_[z](a,b,c))

を満たす実数kが存在します.この時にkを消去すれば法線の式が得られます.
________________________________________________________________________________

※次のURL

http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node51.html

の先のページを参考にされるとよいかと思います.
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50789.曲面の法線  
名前:ぶるーつりー    日付:2017年03月15日(水) 19時04分
Original Size: 1335 x 1044, 261KB

画像にもあるようなP(曲面上の点)の法線の方程式の理解ができません。
どのような手順で導けるのでしょうか。
ネットの文献をみてもよくわからなかったです。
よろしくお願い致します。
(大学 3 年/質問者)
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