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DS 数学 BBS・2
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50769.Re: 【線形代数】基底であることの証明  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年03月06日(月) 19時39分
naka様の回答とあまり変わりませんが,次の様に解答してもよいです.


[解答例]
v_1,v_2,v_3,v_4で生成されるVの部分空間を<v_1,v_2,v_3,v_4>で表す.すると,<v_1,v_2,v_3,v_4>⊂Vであるから,<v_1,v_2,v_3,v_4>≠Vと仮定して矛盾を導く.<v_1,v_2,v_3,v_4>≠Vとすれば,<v_1,v_2,v_3,v_4>に含まれないVの元v_0が存在する.この時,v_0,v_1,v_2,v_3,v_4は一次独立となる.実際,任意にスカラーλ_0,λ_1,λ_2,λ_3,λ_4を与えた時に,λ_0≠0ならば

v_0=(-λ_1/λ_0)v_1+(-λ_2/λ_0)v_2+(-λ_3/λ_0)v_3+(-λ_4/λ_0)v_4

となりv_0∈<v_1,v_2,v_3,v_4>が成り立つが,これはv_0∉<v_1,v_2,v_3,v_4>に矛盾する.よって,λ_0=0であり,この時にv_1,v_2,v_3,v_4の一次独立性よりλ_1=λ_2=λ_3=λ_4=0である.ゆえに,v_0,v_1,v_2,v_3,v_4は一次独立となる.ところが,これは問題文の仮定に反するため矛盾が生じる.したがって,V=<v_1,v_2,v_3,v_4>であり,v_1,v_2,v_3,v_4はVの基底の一つである.□

※簡単に言えば,「V≠<v_1,v_2,v_3,v_4>と仮定するとある元v_0∈V-<v_1,v_2,v_3,v_4>が存在して,この時にv_0,v_1,v_2,v_3,v_4は一次独立であるがこれは問題文の仮定に反する.したがって,V=<v_1,v_2,v_3,v_4>でなければならない」ということです.
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50766.Re: 【線形代数】基底であることの証明  
名前:Liner    日付:2017年03月06日(月) 15時57分
>naka様

早速のご回答ありがとうございました。
理解いたしました。

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50764.Re: 【線形代数】基底であることの証明  
名前:naka    日付:2017年03月06日(月) 15時50分
v1,v2,v3,v4 が線形独立であることはすでに分かっているので V の任意の元がこれらの線形結合で表されることを示せばよい。v∈V が一つ与えらえたとする。v が v1,...,v4 のいずれかである時はこれが線形結合で表されることは明らかなので v は v1,...,v4 ではないとする。
このとき仮定より v1,...,v4,v は線形従属であり、
c1v1+c2v2+c3v3+c4v4+cv=0
となる c1,...,c4,c ですべてが 0 ではないようなものが取れる。ここで c=0 であったとすると v1,...,v4 が線形独立であることに反するので c≠0 である。
したがって
v=(-c1/c)v1+(-c2/c)v2+(-c3/c)v3+(-c4/c)v4
となり v は v1,...,v4 の線形結合で表せる。
(大学院)
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50763.【線形代数】基底であることの証明  
名前:Liner    日付:2017年03月06日(月) 15時43分
線形代数の以下の証明問題を教えていただけないでしょうか?
当方、線形独立、線形従属の概念・意味は理解できております。

【問】
Vを線形空間とし、Vのベクトルv1,v2,v3,v4が線形独立とする。
Vに含まれるどの5つのベクトルも線形従属であるとき、v1,v2,v3,v4が基底であることを定義に従って示せ。

よろしくお願いいたします。
(大学 2 年/質問者)

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