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50774.Re: 素イデアルについて  
名前:nastu    日付:2017年03月08日(水) 18時43分
納得できました。
nakaさん、Tさんありがとうございました。
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50772.Re: 素イデアルについて  
名前:T    日付:2017年03月07日(火) 01時30分
natsuさん、nakaさん
まことに失礼ながら、その他にも
 (x-a,y-b)/I (a,b は ab(a+b-1)=0 を満たす複素数)
というものがあります。これで全てです。


naka さんと同様の考え方で、
P を C[X,Y] の素イデアルで XY(X+Y-1) を含むものとします。
P は素イデアルなので X, Y, X+Y-1 のいずれかを含みます。
逆にこの3つのいずれかを含めば XY(X+Y-1) も含むので,
・X を含む C[X,Y] の素イデアル
・Y を含む C[X,Y] の素イデアル
・X+Y-1 を含む C[X,Y] の素イデアル
をそれぞれすべて見つければよいということになります。

X を含む C[X,Y] の素イデアルは, C[X,Y]/(X) の素イデアルに対応します。
C[X,Y]/(X) は C[Y] に同型で、C[Y] の素イデアルは
(0), (Y-a) (aは複素数) で全てですから、
対応を考えて(詳細略)C[X,Y] の素イデアル (X), (X,Y-a) (aは複素数) が見つかります。
残りも同様に考えることにより、上記の結果が得られます。


ちなみに、代数幾何的な見方をすると、これらの素イデアルは
3直線 X=0, Y=0, X+Y-1=0 および各直線上の点に対応します。
このような対応を知っていれば、(答えだけなら)すぐに分かります。
(回答者)
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50765.Re: 素イデアルについて  
名前:naka    日付:2017年03月06日(月) 15時54分
A の素イデアルと C[X,Y] の素イデアルで ((X^2)Y+X(Y^2)-XY) を含むものは自然に1対1に対応するので C[X,Y] の素イデアルの方を考えます。
(X^2)Y+X(Y^2)-XY=XY(X+Y-1)
なのでこれを含む素イデアルは (X),(Y),(X+Y-1) となります。
よって求める素イデアルはこれらに対応するイデアルで I=((X^2)Y+X(Y^2)-XY) とすると (X)/I,(Y)/I,(X+Y-1)/I の3つです。
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50752.素イデアルについて  
名前:nastu    日付:2017年03月04日(土) 08時04分
複素数体C上の2変数多項式環C[X,Y]に対し、商環A=C[X,Y]/((X^2)Y+X(Y^2)-XY) とします。

このとき、Aの素イデアルを全て求めてください。
お願いします。
(質問者)
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