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50737.Re: 『解析概論』の積分法:Taylorの公式の剰余項  
名前:解析初学者    日付:2017年02月26日(日) 12時20分
解決しました.
度々ありがとうございます.

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50736.Re: 『解析概論』の積分法:Taylorの公式の剰余項  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月26日(日) 02時23分
恐らく,次の定理

[定理]
区間[a,b]においてf(x)は連続,φ(x)は積分可能で,一定の符号を有するならば,a<ξ<bなる或る点ξにおいて∫_[a,b]f(x)φ(x)dx=f(ξ)∫_[a,b]φ(x)dx.

を使って剰余項R_nを

R_n=1/(n-1)!・∫_[a,b](b-x)^{n-1}f^{(n)}(x)dx
=1/(n-1)!・∫_[a,b](b-x)^{n-p-1}・{(b-x)^pf^{(n)}(x)}dx
=1/(n-1)!・{(b-ξ)^pf^{(n)}(ξ)}・∫_[a,b](b-x)^{n-p-1}dx
(ξはa<ξ<bを満たす或る実数)

の様に変形しているのだと思われます.そして,この変形を行うためにはn-p-1≧0かつp≧0であると都合がよいため,0≦p<nなる番号pに対して上記の様な式変形がなされているのです.
____________________________________________________________________________________

※上記の説明の中にある定理は「定積分の性質」の節の最後の方に紹介されているかと思います.一度ご確認ください.
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50734.『解析概論』の積分法:Taylorの公式の剰余項  
名前:解析初学者    日付:2017年02月25日(土) 23時22分
毎度お世話になっています.

『解析概論』のp127の下部に

これはTaylorの公式であるが剰余項が

R = 1/(n-1)! * ∫(b-x)^(n-1)*f(x)dx

なる形ででてくる.

0 <= p < n として平均値の値を適用すれば

...」

とあります.
p=0のときを考えると
これは剰余項Rに出てくる積分を
積分の平均値の定理を使用して

(b-ξ)^(n-1)*f(ξ)*(b-a)に変形する (a<ξ<b)

ところでF(x)を(b-x)^(n-1)の原始関数とすると
(b-ξ)^(n-1) = F(b)-F(a)/(b-a)
(b-ξ)^(n-1)*(b-a) = F(b)-F(a)

よって
(b-ξ)^(n-1)*(b-a) は (b-x)^(n-1)の[a,b]における定積分となる.

このような形で平均値の定理を適用して式を求めていると推測しました
しかしながら

(b-ξ)^(n-1)*f(ξ)*(b-a)から
(b-ξ)^(n-1) = F(b)-F(a)/(b-a)

としていいものでしょうか?

∫(b-x)^(n-1)*f(x)dx におけるあるξと
(b-ξ)^(n-1)*(b-a) = F(b)-F(a) となるあるξは
常に同じになるとは認めることができないです.

下の式がどのように導出を教えてください
よろしくお願いします.

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