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DS 数学 BBS・2
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50738.Re: 定積分  
名前:WIZ    日付:2017年02月27日(月) 11時48分
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

a*f(x) = ∫[0,2]{(3x+t)(e^(t-x))f(t)}dt = (e^(-x)){3x∫[0,2]{(e^t)f(t)}dt+∫[0,2]{t(e^t)f(t)}dt}
と変形できます。

ここで、b = ∫[0,2]{(e^t)f(t)}dt, c = ∫[0,2]{t(e^t)f(t)}dtと置くと、b, cは定数です。
よって、
a*f(x) = (e^(-x)){3bx+c}
⇒ f(x) = (e^(-x)){(3b/a)x+(c/a)}
と表せます。

b = ∫[0,2]{(e^t)(e^(-t)){(3b/a)t+(c/a)}}dt = ∫[0,2]{(3b/a)t+(c/a)}dt = [(3b/a)(t^2)/2+(c/a)t]_[0,2] = 6b/a+2c/a
c = ∫[0,2]{t*(e^t)(e^(-t)){(3b/a)t+(c/a)}}dt = ∫[0,2]{(3b/a)(t^2)+(c/a)t}dt = [(3b/a)(t^3)/3+(c/a)(t^2)/2]_[0,2] = 8b/a+2c/a
整理すると、
ab = 6b+2c・・・・・(1)
ac = 8b+2c・・・・・(2)

(1)より、
c = (ab-6b)/2・・・・・(3)

(3)を(2)に代入して、
(a-2)(ab-6b)/2 = 8b
⇒ (a-2)(a-6)b = 16b・・・・・(4)

b = 0と仮定すると、(3)よりc = 0。よって、f(x) = 0という定数関数になり、条件(ii)に矛盾します。
以上から、b ≠ 0であることが必要です。すると、(4)より、
(a-2)(a-6) = 16
⇒ a^2-8a-4 = 0
⇒ a = 4±2√5
⇒ a > 0より、a = 4+2√5
となります。

また、(3)より、
c = (4+2√5-6)b/2 = (-1+√5)b・・・・・(5)

次に、lim[u→∞]∫[0,u]f(t)dt = lim[u→∞]∫[0,u]{(e^(-t)){(3b/a)t+(c/a)}}dt = 1
ですが、
I = ∫[0,u]{t*(e^(-t))}dt, J =∫[0,u]{e^(-t)}dt
とおけば、
1 = lim[u→∞]{(3b/a)I+(c/a)J}
ということになります。

ここで、
I = ∫[0,u]{t*(e^(-t))}dt = [t*{-(e^(-t))}]_[0,u]-∫[0,u]{-(e^(-t))}dt = -u*(e^(-u))-[e^(-t)]_[0,u] = -u*(e^(-u))-{(e^(-u))-1} = -u*(e^(-u)-(e^(-u))+1
J =∫[0,u]{e^(-t)}dt = [-(e^(-t))]_[0,u] = -e^(-u)-(-1) = -e^(-u)+1
ですので、
1 = lim[u→∞]{(3b/a){-u*(e^(-u)-(e^(-u))+1}+(c/a){-e^(-u)+1}}
となりますが、

補題のlim[u→∞]{u*(e^(-u))} = 0であることを用いると、
1 = lim[u→∞]{(3b/a){-(e^(-u))+1}+(c/a){-e^(-u)+1}} = 3b/a+c/a・・・・・(6)

また、(5)(6)より、
1 = 3b/a+(-1+√5)b/a
⇒ b/a = 1/(2+√5) = -2+√5・・・・・(7)

(5)(7)より、
c/a = (-1+√5)(-2+√5) = 7-3√5

以上から、
a = 4+2√5, f(x) = (e^(-x)){(-6+3√5)x+(7-3√5)}
となります。

# 計算間違いしているところが複数あると思われますので、スレ主さんにてよく検算してみてください。
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50727.Re: 定積分  
名前:定積分    日付:2017年02月23日(木) 20時39分
Original Size: 1080 x 1920, 293KB

写真載せました。
解き方と答えを教えてください。
よろしくお願いします。
(高校 3 年/質問者)
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50726.定積分  
名前:定積分    日付:2017年02月23日(木) 20時36分
Original Size: 1080 x 1920, 179KB

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解き方と答えを教えてください。
よろしくお願いします。
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