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50730.Re: 線型独立と言える根拠について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月24日(金) 16時16分
>50715における質問文に誤りが御座いました。
>これらを踏まえた上で改めて回答頂けますと幸いです。

誤りがあることを踏まえた上で回答を行ったつもりでしたが,寧ろ私の回答にタイプミスが見られました.失礼致しました.該当箇所を修正しておきましたので一度目を通していただければと思います.
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50719.Re: 線型独立と言える根拠について  
名前:パットン    日付:2017年02月23日(木) 01時03分
ペンギン様へ

ご指摘中の解釈で問題ございません。
また、ご回答により、疑問が解決しましたので、深くお礼申し上げます。

ぽんすれ氏様へ

回答して頂き、感謝致します。
また、折角ご回答頂いた手前、非常に申し上げにくいのですが、50715における質問文に誤りが御座いました。
詳細につきましては、お手数ですが50716におけるペンギン様によるご指摘並びにそれに対する私の返答をご覧下さい。
また、誠に勝手ではございますが、これらを踏まえた上で改めて回答頂けますと幸いです。
(数学愛好者/質問者)

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50718.Re: 線型独立と言える根拠について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月24日(金) 16時17分
次の様に直接的に証明してもよいです.


[証明例]
スカラーλ_1,λ_2,...,λ_rが任意に与えられている時に,

λ_1e_1+λ_2e_2+…+λ_re_r=0⇒λ_1=λ_2=…=λ_r=0…(*)

が成り立つことを証明する.Σ_[k=1,r]λ_re_r=0であると仮定すると,Tの線形性より

Σ_[k=1,r]λ_re'_r
=Σ_[k=1,r]λ_rT(e_r)
=T(Σ_[k=1,r]λ_re_r)
=T(0)=0.
∴Σ_[k=1,r]λ_re'_r=0.

ところで,e'_1,e'_2,...,e'_rが一次独立であることからλ_1=λ_2=…=λ_r=0である.よって,(*)が成立し,e_1,e_2,...,e_rは一次独立である.□
________________________________________________________________________________

※逆に「Vの基底の1組e_1,e_2,...,e_kに対してT(e_1),T(e_2),...,T(e_k)がV'の基底の1組となる」ためには,Tに単射性が仮定されていればその証明を行うことが出来ます.そして,実際にはTが単射であることは「…」が成り立つための必要十分条件となります.

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50716.Re: 線型独立と言える根拠について  
名前:ペンギン    日付:2017年02月22日(水) 17時43分
問題の意味が通らないのですが、最後から二行目は、e_1〜e_rが線形独立になることを示す、ということでよろしいでしょうか?

仮に線形独立でないとしたら、
Σa_ie_i=0のときに、a_i≠0となるものが存在します。
この両辺にTを作用させると、
Σa_ie'_i=0

これは、e'_iが線形独立であることに矛盾するので、e_iは線形独立になります。
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50715.線型独立と言える根拠について  
名前:パットン    日付:2017年02月22日(水) 16時41分
TがVからV'への線型写像であるとき、VのTによる像T(V)の基底<e'_1,e'_2,...,e'_r>を選ぶ。次に、各e'_i(1≦i≦r)に対し、T_e_i=e'_iとなるVの元e_iを取ると、e'_1,e'_2,...,e'_rは線型独立と言えるそうなのですが、そう言える根拠を教えて下さい。
(数学愛好者/質問者)
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