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50708.Re: 『解析概論』の積分法:p100[挿記]  
名前:解析初学者    日付:2017年02月21日(火) 20時04分

>※専門書を読む際には「与えられた幾つかの仮定から確実に推論出来る>ことは何か?」を意識していただくとよいかもしれません.

心がけてみます.

毎度、丁寧に回答してくださってとても助かっています.
ありがとうございました.

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50707.Re: 『解析概論』の積分法:p100[挿記]  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月21日(火) 04時26分
>ぽんすれさんの説明だと
>s(a,b)>s(a,x)+(x,b)の場合だと矛盾が生じて
>s(a,x)+s(x,b)は集合{s(a,b)+c|c>0}の下限ではないということですね

仰る通りです.今議論している部分においては「s(a,b)≧s(a,x)+s(x,b)の成立」は確実に言えるということです.


>s(a,b)+ε > s(a,b)+s(b,x)
>はs(a,b)>s(a,x)+(x,b) の可能性を否定するものではないので
>s(a,x)+s(x,b)を下限とすることはできない

これに関しても仰る通りです.
_____________________________________________________________________________

※専門書を読む際には「与えられた幾つかの仮定から確実に推論出来ることは何か?」を意識していただくとよいかもしれません.
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50705.Re: 『解析概論』の積分法:p100[挿記]  
名前:解析初学者    日付:2017年02月20日(月) 21時02分
ありがとうございます
理解できました

前の返信で
s(a,x)+s(x,b)のことをs(a,b)+s(b,x)
と書いていました
困惑させてすみませんでした

ぽんすれさんの説明だと
s(a,b)>s(a,x)+(x,b)の場合だと矛盾が生じて
s(a,x)+s(x,b)は集合{s(a,b)+c|c>0}の下限ではないということですね
(当たり前の事を言っているように聞こえるかもしれません)

そして
s(a,b)+ε > s(a,b)+s(b,x)
はs(a,b)>s(a,x)+(x,b) の可能性を否定するものではないので
s(a,x)+s(x,b)を下限とすることはできない
ということでしょうか

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50704.Re: 『解析概論』の積分法:p100[挿記]  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月20日(月) 18時41分
>s(a,b)+ε > s(a,b)+(1/2)*ε > s(a,b)+s(b,x)

この部分から「s(a,x)+s(x,b)も集合{s(a,b)+c|c>0}の下限である」と結論付けるのはまずいです.なぜなら,もしそうであれば「r>s(a,x)+s(x,b)を満たす任意の実数rに対して,s(a,x)+s(x,b)<u<rを満たすu∈{s(a,b)+c|c>0}が存在する(…(a))」ということが成立しますが,実際にはs(a,x)+s(x,b)<u<(s(a,b)+(s(a,x)+s(x,b)))/2を満たすu∈{s(a,b)+c|c>0}は存在しないため,(a)は成立しません.したがって,s(a,x)+s(x,b)は集合{s(a,b)+c|c>0}の下界ではあるが下限ではありません.
____________________________________________________________________________________

※実数全体の集合の部分集合の上限・下限の定義を正確に理解できていれば,上記の説明が分かるかと思います.

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50703.Re: 『解析概論』の積分法:p100[挿記]  
名前:解析初学者    日付:2017年02月20日(月) 18時18分
返信ありがとうございます.
理解できました.

s(a,b)+ε > s(a,b)
s(a,b)+ε > s(a,b)+s(b,x)

のときs(a,b)もs(a,b)+s(b,x)も
確かに{s(a,b)+c|c>0}の下界の一つです.

集合Xの下限とは
aをXの下界とすると
a'>a とするとき a'>x>a となるある数xがXに属すようなaの値です

任意のε>0に対しては

s(a,b)+ε > s(a,b)+(1/2)*ε > s(a,b)
s(a,b)+ε > s(a,b)+(1/2)*ε > s(a,b)+s(b,x)

この式が成り立つのでs(a,b)もs(a,b)+s(b,x)も下限の性質を満たします

よって s(a,b) = s(a,x)+s(x,b)
としてしまっても問題無いでしょうか?

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50702.Re: 『解析概論』の積分法:p100[挿記]  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月20日(月) 13時55分
>厳密に考えてどのようにして
>s(a,b) >= s(a,x)+s(x,b)を導いたのでしょうか?


@より,s(a,x)+s(x,b)は集合{s(a,b)+c|c>0}の下界の1つです.一方,

inf{s(a,b)+c|c>0}=s(a,b)

であり,下限が下界の中で最大のものであることに注意するとAが得られます.或いは,もっと簡単にε→0の時の極限だと思って@からAを導出してもよいです.
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50701.『解析概論』の積分法:p100[挿記]  
名前:解析初学者    日付:2017年02月20日(月) 13時38分
毎度お世話になっています.
『解析概論』p100の[挿記]について質問があります

s(a,b)+ε > s(a,x)+s(x,b) --@

εは任意だから

s(a,b) >= s(a,x)+s(x,b) --A

とあります.
この@は任意のε>0に対しては成り立ちますが
厳密に考えてどのようにして
s(a,b) >= s(a,x)+s(x,b)を導いたのでしょうか?

AはどんなΔsに対しても
s(a,b)>=s(a,x)+s(x,b)が成り立つ
つまりs(a,x)+s(x,b)がs(a,b)に対しての
下限となっているように見えます.

s(a,b)+ε > s(a,x)+s(x,b)より
s(a,b)+εを要素とする集合X(ε>0)の下限は
s(a,x)+s(x,b)なので
任意のε>0対しては
s(a,b)+ε >= s(a,x)+s(x,b)を認めることができますが

ε=0としてしまった
s(a,b) >= s(a,x)+s(x,b)を認めることができません.

教えてくださいお願いします.

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「50701.『解析概論』の積分法:p100[挿記]」への返信


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