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50706.Re: 不定積分  
名前:山旅人    日付:2017年02月20日(月) 22時14分
> 部分分数分解の形
概要のみ書きます。場合分けとか,細かいところはご自分で。

(1)1.2.の場合 通分後,分子から x が全て消えることから

 1/(x2+b1x+c1)(x2+b2x+c2)=(Ax+B)/(x2+b1x+c1)−(Ax+C)/(x2+b2x+c2) …<1>

と分解でき,通分し係数を比較することで A,B,C が決定できます。その際に,お書きの 1.2. の場合分けが発生します。

<1>の後,第1項,第2項どちらも,分母の2次式の判別式 D=b2−4bc で場合分けです。

 (1-1) D>0 の場合 x2+bx+c=0 の2実数解をα,βとして (Ax+B)/(x2+bx+c)=P/(x−α)+Q/(x−β) と分解できます。

 (1-2) D=0 の場合 (Ax+B)/(x−α)2=A/(x−α)+C/(x−α)2 と分解できます。

 (1-3) D<0 の場合 (Ax+B)/(x2+bx+c)=(A/2)(2x+b)/(x2+bx+c)+(B−Ab/2)/(x2+bx+c) と変形でき,第1項の積分は log,第2項の積分は tan-1 です。

(2) 3.の場合 平方完成すれば 1/(x2−A2)2 または 1/(x2+A2)2 の形になるので,
前者は 2. に帰着し,後者は x=Atanθ と置換すると容易に積分できます。

一般式だと訳が分からなくなるので,例えば 1/(x2−3x+2)(x2+2x+2) 等,具体的なものだと,感覚がつかめると思います。
 
(数学愛好者)

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50700.不定積分  
名前:田丸    日付:2017年02月20日(月) 05時34分
∫dx/(x^2+b1x+c1)(x^2+b2x+c2)
の不定積分を、x^2+b1x+c1、x^2+b2x+c2の判別式で場合分けをして、
1.b1=b2 c1≠c2
2.b1≠b2 c1=c2≠0
3.b1=b2 c1=c2
の場合で行え

という問題なのですが、まず部分分数分解の形がわかりません
教えていただけませんでしょうか。宜しくお願いいたします。
(大学 1 年/質問者)
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「50700.不定積分」への返信


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