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50690.Re: 2階導関数  
名前:BT    日付:2017年02月17日(金) 22時43分
山旅人さん

ありがとうございます。証明も容易なのですね。
勉強になります。
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50689.Re: 2階導関数  
名前:山旅人    日付:2017年02月17日(金) 22時34分
 f ''(x)=lim[h→0]{f(x+h)−2f(x)+f(x−h)}/h2

です。
スレッド冒頭の下の方で,かなり肉薄されているようですが。
上式の分子を 「中心差分」 といいます。
『2階差分』 で検索すると,例えば ここ とか ここ とかいろいろヒットします。ご参考まで。
 
(数学愛好者)

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50688.Re: 2階導関数  
名前:BT    日付:2017年02月17日(金) 22時14分
山旅人さん

>f '(x) を用いずに2 階導関数を極限で定義する

ということですね。
これは知りません。ご教授いただければ嬉しいです。
また、その式がきちんとf"(x)であることの簡単な説明(可能なら証明、面倒であれば文献など参照できるもの)もお願いします。
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50687.Re: 2階導関数  
名前:山旅人    日付:2017年02月17日(金) 22時08分
> f"(x)=lim[h → 0](f'(x+h)-f'(x))/h

もちろんこれで OK ですが,「f '(x) を用いずに」 です。書き落とし,失礼しました。
 
(数学愛好者)

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50686.Re: 2階導関数  
名前:BT    日付:2017年02月17日(金) 20時52分
山旅人さん

>2 階導関数を極限で定義する

今は関数が滑らかと仮定していますので1階導関数f'(x)は各x ∈ Rで存在して、これも滑らかである。
よって2階導関数は

f"(x)=lim[h → 0](f'(x+h)-f'(x))/h

と定義される。
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50682.Re: 2階導関数  
名前:山旅人    日付:2017年02月17日(金) 00時06分
> この疑問については解決
の由ですが,では,2 階導関数を極限で定義するにはどのようにすべきか,おわかりですか?
 
(数学愛好者)

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50681.Re: 2階導関数  
名前:BT    日付:2017年02月16日(木) 22時53分
返信ありがとうございます。

やはり間違っていますよね。この疑問については解決です。ありがとうございました。
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50680.Re: 2階導関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月16日(木) 00時54分
fがR上C^3級の関数であるとすると,点xを含むある開区間I上でfの有限次Taylor展開

f(x')=f(x)+f'(x)/1!・(x'-x)+f''(x)/2!・(x'-x)^2+o(|x'-x|^2)

が成立します.ここで,o(|x'-x|^2)は

lim_[x'→x]o(|x'-x|^2)/|x'-x|^2=0

を満たすある関数です.この時,0<|h|<1を満たす実数hを十分小さく取れば,

f(x+h)=f(x)=f'(x)/1!・h+f''(x)/2!・h^2+o(h^2)

が成立します.この時,

(f(x+h)-f(x))/h^2=f(x)/h^2+f'(x)/h+f''(x)/2!+o(h^2)/h^2

の式の両辺においてh→0とすると,この式の右辺の第1項と第2項はともに発散するため,極限lim_[h→0](f(x+h)-f(x))/h^2は収束しません.特に,この極限はf''(x)とは一致しません.
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50679.Re: 2階導関数  
名前:らすかる    日付:2017年02月16日(木) 00時51分
例えばf(x)=x^2でx≠0のとき
lim[h→0](f(x+h)-f(x))/h^2
=lim[h→0]((x+h)^2-x^2)/h^2
=lim[h→0](2hx+h^2)/h^2
=lim[h→0]2x/h+1
=±∞
lim[h→0](f(x+2h)-f(x))/h^2
=lim[h→0]((x+2h)^2-x^2)/h^2
=lim[h→0](4hx+4h^2)/h^2
=lim[h→0]4x/h+4
=±∞
なのでいずれも正しくないですね。

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50678.2階導関数  
名前:BT    日付:2017年02月16日(木) 00時06分
御世話になっています。
次の主張は正しいですか?


fを実数上の滑らかな関数としたtきfの2階導関数は
f"(x)=lim[h → 0](f(x+h)-f(x))/(h^2)
となる。

正直間違っていると思います。

導関数の定義に従って考えると

F”(x)= lim[h → 0](f’(x+h)-f’(x))/h
= lim[h → 0]1/h { lim[i → 0](f(x+h+i)-f(x+h)}/i - lim[j → 0](f(x+j)-f(x))/j }

となりますが、この式のi、jとしてhに置き換えても問題ないのでしょうか?
もしできるなら

lim[h → 0]1/h { lim[i → 0](f(x+h+i)-f(x+h)}/i - lim[j → 0](f(x+j)-f(x))/j }
= lim[h → 0]1/h { lim[h → 0](f(x+h+h)-f(x+h)}/h - lim[h → 0](f(x+h)-f(x))/h }
=lim[h → 0](f(x+2h)-f(x))/h^2

と計算できますが、イマイチしっくりきません。



多変数関数でのHesse行列を考えていたのですが、本質的なことは変わらないので1変数版で質問します。
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「50678.2階導関数」への返信


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