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50709.Re: 加群の構造定理の証明  
名前:たか    日付:2017年02月21日(火) 20時12分
返信が遅くなってしまい申し訳ありません。
理解することができました。丁寧に教えていただき、本当にありがとうございました。
(質問者)
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50677.Re: 加群の構造定理の証明  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月15日(水) 23時02分
>有限個の単項イデアルたち(a_i)のそれぞれの生成元a_iたちの積をaとおくとa・f_1=0


任意のr=Σ(r_[i]+(a_[i]))∈⊕R/(a_[i])に対して,

(af_1)(r)
=Σ(af_1)(r_[i]+(a_[i]))
=Σa(f_1(ar_[i]+(a_[i])))
=Σf_1(ar_[i]+(a_[i]))
=Σf_1(0)=0

によりa・f_1=0となります.



>f_2(y)=z-f_1(x)∈T(M)


この段階ではf_1(N)⊂T(M)が示されているため,f_1(x)∈f_1(N)⊂T(M)よりf_1(x)∈T(M)となります.これとz∈T(M)及びT(M)がMの部分加群であることからf_2(y)=z-f_1(x)∈T(M)が成立します.



>f_2が単射準同型写像であることに注意するとy∈T(R^s)が成立します.


f_2(y)∈T(M)よりある非零な元r_0∈Rが存在して,r_0f_2(y)=0が成立します.この時,f_2の準同型性よりf_2(r_0y)=r_0f_2(y)=0であるから,f_2の単射性よりr_0y=0となります.この時,r_0≠0に注意するとy∈T(R^s)が成立します.



>Nは整域上の自由加群であるからT(R^s)={0}


この事実を知らなければ証明を与える必要がありますね.証明は次の様になります.w∈T(R^s)を任意に選びます.w∈R^sであるから,R^sの基底をe_1,e_2,...,e_sすると

w=w_1e_1+w_2e_2+…+w_se_s
(w_1,w_2,...,w_s∈R)

の様に表されます.ここで,w∈T(R^s)よりある非零な元w_0∈Rが存在して

w_0w=(w_0w_1)e_1+(w_0w_2)e_2+…+(w_0w_s)e_s=0

が成立します.ここで,e_1,e_2,...,e_sの一次独立性より

w_0w_1=w_0w_2=…=w_0w_s=0.
∴w_1=w_2=…=w_s=0.(∵w_0≠0とRが整域であること)

この時,w=0であり,T(R^s)⊂{0}となります.ゆえに,T(R^s)={0}が成立します.
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50676.Re: 加群の構造定理の証明  
名前:たか    日付:2017年02月15日(水) 20時33分
>有限個の単項イデアルたち(a_i)のそれぞれの生成元a_iたちの積をaとおくとa・f_1=0

>f_2(y)=z-f_1(x)∈T(M)

>f_2が単射準同型写像であることに注意するとy∈T(R^s)が成立します.

>Nは整域上の自由加群であるからT(R^s)={0}


以上の四箇所が理解できませんでした。詳しく教えていただくことはできますでしょうか?よろしくお願いいたします。
(質問者)
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50673.Re: 加群の構造定理の証明  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月14日(火) 12時42分
表記の都合上,N=⊕R/(a_i)とおき,ねじれ加群の表記をT(・)等の様に表すことにします.仮定より同型写像f:N⊕R^s→Mが存在します.ここで,N,R^sからN⊕R^sへの標準的なinclusionι_1,ι_2とfの合成を考えることにより単射準同型写像f_1:N→M,f_2:R^s→Mが得られます.この時,Mの分解の式M=f_1(N)⊕f_2(R^s)が成立します.


以上の設定の下で,示すべき2つの式の成立を証明します.有限個の単項イデアルたち(a_i)のそれぞれの生成元a_iたちの積をaとおくとa・f_1=0であるからNはf_1でT(M)に埋め込まれます.一方,任意にz∈T(M)をとると,z∈Mよりあるx∈N,y∈R^sがそれぞれただ一つ存在してz=f_1(x)+f_2(y)の様に表されます.この時,f_2(y)=z-f_1(x)∈T(M)であり,f_2が単射準同型写像であることに注意するとy∈T(R^s)が成立します.ところで,Nは整域上の自由加群であるからT(R^s)={0}であり,よって,y=0となります.この時,z=f_1(x)∈f_1(N)であり,T(M)⊂f_1(N)が成立します.したがって,f_1によりNとT(M)の間の同型写像が与えられます.


最後に,M/T(M)とR^sが同型であることを証明しますが,これについては

・(N⊕R^s)/ι_1(N)とM/T(M)は同型である
・射影N⊕R^s→R^sを使って準同型定理の主張を適用すると,(N⊕R^s)/ι_1(N)とR^sは同型である

という2点をチェックすることができればよいです.

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50669.加群の構造定理の証明  
名前:たか    日付:2017年02月14日(火) 01時01分
加群の構造定理の証明に関する質問です。

Rを単項イデアル整域、Mを有限生成のR-加群、M_0をMのねじれ部分、(a)をaの生成する単項イデアルとします。

M≒(⊕R/(a_i))⊕R^s

が成り立つとき、

(1)M_0≒⊕R/(a_i)

(2)M/M_0≒R^s

はどのように示せますか?ここで≒は同型であることを表します。

参考にしている教科書は松坂の「代数系入門」で、当該の箇所は第4章9節です。
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