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50672.Re: 線形代数  
名前:57    日付:2017年02月14日(火) 07時00分
納得できました。

ありがとうございました。
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50671.Re: 線形代数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月14日(火) 03時20分
>Bの固有値は0以上とあるので
>B=Pdiag(0,1,2)P^{-1}
>だけを考えれば良いような気がするのですが
>どうでしょうか?

その条件を見落としておりました.仰る通りです.
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50667.Re: 線形代数  
名前:57    日付:2017年02月13日(月) 20時19分
返信ありがとうございます。

質問があります。
Aが対角化できて、PをAの固有ベクトルでのベクトルとすれば
B=P^{-1}AP
でBは対角行列で
A=PBP^{-1}
となる。
この時、BはAの固有値が対角線上の並んでいる。

ぽんすれ氏さんの返信では

B=Pdiag(0,1,2)P^{-1},Pdiag(0,-1,2)P^{-1},Pdiag(0,1,-2)P^{-1},Pdiag(0,-1,-2)P^{-1}

の4種類を考えていると思うのですが

Bの固有値は0以上とあるので
B=Pdiag(0,1,2)P^{-1}
だけを考えれば良いような気がするのですが
どうでしょうか?
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50665.Re: 線形代数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月13日(月) 18時30分
まず,AとBは実対称行列ゆえにAとBは対角化可能であることに注意しておきます.λをBの任意の固有値とし,vをBの固有値λに対応する固有ベクトルとします.この時,A=B^2よりλ^2はAの固有値であり,vはAの固有値λ^2に対応する固有ベクトルであることが分かります.ゆえに,正則行列PをP^{-1}BPが対角行列となる様なものとすれば,

P^{-1}AP=P^{-1}B^2P=(P^{-1}BP)^2

よりP^{-1}APは対角行列であり,Aの固有値が0,1,4であることからP^{-1}APの対角成分には0,1,4があり,Pの各列ベクトルはAのそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルであることが言えます.よって,Pを「Aのそれぞれの固有値に対応する固有空間の基底を列ベクトルとする正則行列であって,P^{-1}AP=diag(0,1,4)となる様なもの」として選べば,Bは

B=Pdiag(0,1,2)P^{-1},Pdiag(0,-1,2)P^{-1},Pdiag(0,1,-2)P^{-1},Pdiag(0,-1,-2)P^{-1}

となります.後は,これらのうちで実対称行列であるものを答えとすればよいです.なお,P^{-1}については余因子行列を求めるか基本変形を行うかで求めればよいです.

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50661.線形代数  
名前:57    日付:2017年02月12日(日) 20時10分
( 1 -1 -1)
A=(-1 1 1)
(-1 1 3)

(4)B^2=Aで、固有値が全て0以上の整数になるような対称行列Bを求めよ。
どのように解くんでしょうか?

ちなみに
(1)〜(3)でAを対角化させています。
Aを対角化すると

(0 0 0)
 (0 1 0)
(0 0 4)

となりました。

よろしくお願いします。
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