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50644.Re: 『解析概論』の高階微分法について  
名前:解析概論    日付:2017年02月11日(土) 16時16分
理解できました.
これで次のページに進むことができます.
丁寧に回答してくださってありがとうございました.

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50643.Re: 『解析概論』の高階微分法について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月11日(土) 15時58分
解析概論の中で与えられているdy,dx,d^2x,d^2y,dx^2,dy^2などの記法の定義を参考にすると,dy=(y_[x])'dxより

d^2y=d(dy)=d((y_[x])'dx)=d((y_[x])'dx)/dx・dx,…(a)
d((y_[x])'dx)/dx=(y_[x])''dx+(y_[x])'d(dx)/dx…(b)

であるから,d(dx)=d(dx)/dx・dxと(a),(b)より

d^2y
=((y_[x])''dx+(y_[x])'d(dx)/dx)dx
=((y_[x])''(dx)^2+(y_[x])'(d(dx)/dx・dx)
=((y_[x])''(dx)^2+(y_[x])'d(dx)
=((y_[x])''dx^2+(y_[x])'d^2x

が得られます.解析概論でのその箇所ではこの様な考えで件の等式が与えられているのだと思います.
M014011036192.v4.enabler.ne.jp (14.11.36.192)
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50637.『解析概論』の高階微分法について  
名前:解析概論    日付:2017年02月11日(土) 11時32分
高木貞治先生の書かれた『定本 解析概論』の高階微分法の内容について
理解できないところがあります.
p55,上から10行目に

dy = (y_x)' * dx
とあり、両辺の微分をとると

d(dy) = (y_x)'' * (dx)^2 + (y_x)' * d(dx) ---@

とあります
そしてこれは積の微分法を使ったものだと書かれています

私の考えでは
y = f(x) の微分をとるとは
dy = (y_x)' * dx を求めることです(dyはxとΔxの関数)

この考えの元にdyの微分をとるということは
dy = f(x,Δx) であるdyの導関数を求めて(dyをxについて微分する)
d(dy) = ((y_x)' * dx)' * dx
を求めることだと考えています

dy = (y_x)' * dxの導関数を求めるとき
dxはxについての関数ではないので定数として扱い
((y_x)' * dx)' = (y_x)'' * dx となります
すると

d(dy) = (y_x)'' * dx * dx
= (y_x)'' * (dx)^2

d(dy)/dx^2 = (y_x)''

より二回微分の導関数が得られます.

しかしこの考え方では@の右辺の第二項目が得られないままです
私の導出の仕方に間違いはあるでしょうか?
@はどのように導出されたのか知りたいです
教えてくださいお願いします

補足:(y_x)'はyの導関数です.本書の記法に合わせて書きました.
(大学 2 年/質問者)

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