[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS・2
小中高の範囲は DS 数学 BBS(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | サポート ]
名前 一覧
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
添付

 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



50735.Re: 広義積分  
名前:ライラック    日付:2017年02月25日(土) 23時24分
返信が遅れました。

無事証明できました。アドバイスありがとうございます。
(大学 2 年/質問者)
p4123-ipbf804sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (122.18.86.123)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

50611.Re: 広義積分  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月05日(日) 02時09分
なお,証明のポイントは

・上に有界な単調増加な実数列は収束するということ
・上限の定義の条件について
・Dに収束する{K_n}の性質

を用いて@とAを導出する,ということです.
M014011036192.v4.enabler.ne.jp (14.11.36.192)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/55.0.2883.87 Safari/537.36

50610.Re: 広義積分  
名前:ぽんすれ氏    日付:2017年02月05日(日) 02時04分
証明の概略を以下に与えておきます.細かな部分に関しては一度ご自身でお考えください.


[証明の概略]
任意にε>0を与えておく.領域D上で非負値をとる関数fがD上で広義二重積分可能であるとする.上限の定義より,各正の番号nに対して

∬_[K_[n]]f(x,y)dxdy≦sup_[K;D内の有界閉集合]∬_[K]f(x,y)dxdy=∬_[D]f(x,y)dxdy.

一方,有界閉集合列{K_[n]}の定義と積分の性質より∬_[K_[n]]f(x,y)dxdyは番号nに関して単調に増加する.よって,lim_[n→∞]∬_[K_[n]]f(x,y)dxdyは存在して

lim_[n→∞]∬_[K_[n]]f(x,y)dxdy≦∬_[D]f(x,y)dxdy.…@

また,上限の性質より

∬_[D]f(x,y)dxdy-ε<∬_[K_[0]]f(x,y)dxdy<∬_[D]f(x,y)dxdy

を満たすD内のある有界閉集合K_[0]が存在する.ところで,十分大きな正の番号n'をとればK_[0]⊂K_[n']が成り立つ様に出来るから,このことと上限の定義に注意すると,n≧n'なる任意の番号nに対して

∬_[D]f(x,y)dxdy-ε<∬_[K_[0]]f(x,y)dxdy≦∬_[K_[n]]f(x,y)dxdy.

この式においてn→∞とし,その次にεの任意性に注意すると

∬_[D]f(x,y)dxdy≦lim_[n→∞]∬_[K_[n]]f(x,y)dxdy.…A

が成り立つ.@,Aにより所望の結果を得る.□
M014011036192.v4.enabler.ne.jp (14.11.36.192)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/55.0.2883.87 Safari/537.36

50609.広義積分  
名前:ライラック    日付:2017年02月05日(日) 00時38分
2次元のある領域D上f(x,y)≧0が広義積分可能だとすると、その値はK⊂Dとなる任意の有界閉集合Kに対して
D上の2重積分∬f(x,y)dxdyがK上の2重積分sup_[K⊂D](∬f(x,y)dxdy)と定義される。

この時有界閉集合の列{K_n},K_n⊂DでK_1⊂K_2⊂・・・⊂K_n⊂・・・→Dなるもの
に対してD上の2重積分∬f(x,y)dxdyがK_n上の2重積分の極限lim[n→∞]∬f(x,y)dxdy
が成り立つことを示せ。

この問題がかなり難しくてできません。よろしくお願いします。
(大学 2 年/質問者)
p1099-ipbf2105sapodori.hokkaido.ocn.ne.jp (118.0.96.99)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko


「50609.広義積分」への返信


特定の個人への誹謗中傷は無予告削除対象です。

   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb