DS 数学 BBS･2
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38874.正葉線で囲われる部分の面積の求め方､答えが合わない 返信(0)
[threeaster]2009年11月22日(日) 2時7分
C:x=3t/(1+t^3),y=3t^2/(1+t^3)で定義される曲線Cで囲まれる部分の面積(=S)を求めたい｡
これは､通常極座標表示r=3sinθcosθ/(sin^3θ+cos^3θ)から1/2∫[0,π/2]r^2dθ=3/2
と求めるのですが､別のｱﾌﾟﾛｰﾁで求めようとしました｡
Cはy=xについて対称
(∵(x,y)がC上にあるとき､∃t x=3t/(1+t^3),y=3t^2/(1+t^3)､t=0のとき(x,y)はy=x上にあるので明らかに､t≠0のときx=3(1/t)^2/(1+(1/t)^3),y=3(1/t)/(1+(1/t)^3)より(y,x)もC上にある)
なので､Cの0≦t≦1の部分(=C')とy=xで囲われる部分の面積(=S')を2倍したものが求める面積である｡
C'とy=-x+aの交点の個数を調べると､交点の個数は3t/(1+t^3)=3t^2/(1+t^3)+a i.e. 3(t^2+t)/(1+t^3)=aの解の個数と同じ｡
f(t)=3(t^2+t)/(1+t^3)とするとf'(t)=-3(t-1)(t+1)/(t^2-t+1)^2より0≦t≦1でf(t)は単調増加なので､C'とy=-x+aの交点は高々1個｡
C'上にある点(3t/(1+t^3),3t^2/(1+t^3))とy=xとの距離は|3t/(1+t^3)-3t^2/(1+t^3)|/√2=3(t-t^2)/(√2(1+t^3)))なので､S'=3/√2∫[0,1](t-t^2)/(1+t^3)dtである｡
これを計算するとS'=-√2log2+π/√6 ∴S=2(-√2log2+π/√6)
となってしまって､答えが合いません｡どこが間違っているのか指摘していただけませんでしょうか｡
(大学 2 年/質問者)
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38866.区分積分法でｼｸﾞﾏの中身が(k/n)のみで表されない場合 返信(5)
[ﾌﾙｶﾜ]2009年11月20日(金) 14時6分
区分積分法は､
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)=∫[0,1]f(x)dx
というものですが､
たとえば､lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n]f(k,n)で､
f(k,n)=√{ (k/n) + n^α + k^β + n*sin(1/n) + k*sin(1/k) + n^k + k^n}
ただし､α,βはある実数､
などのように関数f(k,n)が(k/n)のみで表されない場合にはどのように計算すればよいのですか?
厳密かつ一般的な処理方法を教えていただけると幸いです｡
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38863.位相がいくつあるのかを調べる問題です｡ 返信(2)
[yuki]2009年11月19日(木) 18時12分
例えば､S={1,2,3}の場合､
すべての位相は"27"個ありますが､
定義から確認していくのではなくて､
集合の元の個数によって位相がいくつあるのかを求める公式などはないのでしょうか?
単純に元が3つだから3×3×3=27(元の個数=3^元の個数=3)
というわけではないですよね…?
できれば早急に回答いただけるとありがたいです｡
お手数ですがどなたかよろしくお願いします｡
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